Убедившись в адекватности статистической модели USDOLLAR = с + а × USDOLLAR(-l), составим с ее помощью прогноз с упреждением в одну неделю на 27 июля 2010 г. При этом используем данные по курсу доллара, взятые с интервалом в одну неделю (на конец этого периода) с 1 октября 1998 г. по 20 июня 2010 г. Согласно полученному точечному прогнозу, курс доллара на 27 июля 2010 г. должен был равняться 30,55 руб., хотя в действительности американская валюта в этот день стоила 30,30 руб., т. е. ее курс отклонился на 25 коп. Таким образом, прогноз курса американской валюты оказался точным при интервальном прогнозе, составленном с 50 %-ным уровнем надежности.
Полученная в результате составления прогноза средняя ошибка индивидуального прогнозного значения курса доллара оказалась равна 0,3689 руб. Ее мы применили для формирования рекомендуемых цен покупки и продажи, воспользовавшись алгоритмом действий № 24. Для расчета рекомендуемых цен покупки и продажи в качестве среднего значения при нормальном распределении был взят фактический курс доллара от 17 июля 2010 г., равный 30,46 руб., т. е. его последнее значение перед началом инвестиционного периода, начавшегося с 20 июля и закончившегося 27 июля 2010 г. Рассчитанные нами рекомендуемые цены продажи и покупки представлены в табл. 7.16.
Прежде чем перейти к тестированию по рыночным данным эффективности рекомендуемых цен покупки и продажи, необходимо сначала убедиться в их обоснованности. Это означает, что нужно рассмотреть, какая доля цен покупки или продажи, рассчитанных по указанной методике, в действительности оказалась ниже (или выше) фактического курса доллара в конце месяца.
С этой целью мы рассчитали рекомендуемые курсы покупки и продажи доллара не только на период с 20 июля по 27 июля 2010 г., но и на весь период с 1 октября 1998 г. по 20 июля 2010 г., а затем сопоставили отклонения рекомендуемых цен от заданного уровня надежности. В таблице 7.17 показан фактический риск того, что рекомендуемая цена продажи валюты, вычисленная с определенным уровнем надежности, в действительности может оказаться ниже курса доллара на конец инвестиционного периода (конец недели). Из этой таблицы можно сделать вывод, что вероятность удачной сделки при продаже доллара по ценам, рассчитанным с 95 %-ным уровнем надежности и при более низких уровнях надежности, выше заданного уровня надежности. Причем при 60 %-ном уровне надежности эта положительная разница достигает своего максимума — 16,8 процентного пункта. Правда, при продаже доллара с 99 % — ным уровнем надежности вероятность удачной сделки несколько ниже установленного уровня надежности.
В таблице 7.18 показан фактический риск того, что рекомендуемая цена покупки валюты, вычисленная с определенным уровнем надежности, в действительности может оказаться выше курса доллара на конец инвестиционного периода (в конце недели). Судя по этой таблице, фактическая вероятность удачной сделки оказалась выше установленного уровня надежности. Правда, при 99 %-ном уровне надежности эта положительная разница оказалась весьма незначительной, в то время как при более низких уровнях надежности фактическая вероятность удачной сделки быстро нарастает. Причем при 70 %-ном уровне надежности эта положительная разница в пользу фактической вероятности удачной сделки достигает своего максимума — 19,0 процентных пунктов.
Сравнив табл. 7.17 и 7.18, легко заметить, что вероятность удачной сделки при покупке доллара несколько выше, чем при его продаже, за исключением 60 %-ного уровня надежности, где она, напротив, несколько меньше. Теперь проверим, насколько эффективным могло быть использование рассчитанных нами цен покупки и продажи в ходе торгов на валютном рынке с 20 июля по 27 июля 2010 г.
Поскольку 20 июля курс доллара значительно вырос (рис. 7.7), то первым в торгах смог участвовать инвестор, установивший цену продажи доллара с 60 %-ным уровнем надежности. Однако затем американская валюта стала преимущественно падать, поэтому на рынок смог выйти игрок, планировавший купить доллар по цене с 60 %-ным уровнем надежности.
В таблице 7.19 представлены итоги валютных торгов за период с 20 июля по 27 июля 2010 г. для инвесторов, установивших цены покупки или продажи доллара с разными уровнями надежности. Судя по этой таблице, положительную курсовую доходность в размере 0,37 % по итогам недельного инвестиционного периода получил инвестор, установивший цену продажи доллара с 60 %-ным уровнем надежности, в то время как инвестор, установивший цену покупки доллара с 60 %-ным уровнем надежности, еще не успел заработать на своей покупке, поскольку приобрел валюту в последний день инвестиционного периода. В свою очередь инвестор, придерживавшийся стратегии «купил и держи», понес убытки в размере 0,53 %. Заметим, что фактическая вероятность удачной сделки для инвестора, придерживавшегося этой стратегии, по нашим подсчетам, за период с 1 октября 1998 г. по 20 июля 2010 г. составила 48,5 % (из 612 сделок 297 были удачными, если вести подсчет доходности на конец каждого инвестиционного периода).
7.4. Использование в торговле модели для прогнозирования курса евро к доллару с упреждением в один день
До сих пор мы делали прогнозы относительно курса доллара к рублю. А теперь попробуем оценить, насколько эффективно будет использование в торгах статистической модели, по которой можно делать прогноз по курсу евро к доллару с упреждением в один день. На основе базы данных по курсу евро к доллару, взятых с интервалом в один день (цена закрытия) с 5 января 1999 г. по 13 сентября 2010 г., нами была построена прогностическая модель, по которой можно делать прогнозы с упреждением в один день. Поскольку ARM А-структура статистической модели, полученная по исходному временному ряду, оказалась нестационарной, мы решили построить ее на основе логарифмического временнoго ряда. Данные по итогам решения уравнения регрессии, полученного из логарифмированного временнoго ряда, можно увидеть в табл. 7.20. Поскольку коэффициент а получился меньше единицы (хотя эта разница и незначительна), то можно говорить о стационарной ARMA-структуре этой модели.
Подставив в log(EURUSD) = а × log(EURUSD(-l)) коэффициенты из табл. 7.20, получим следующую формулу:
log(EURUSD) = 0,9996 × log(EURUSD(-l)), (7.5)
где EURUSD, EURUSD(-l) — переменные, обозначающие текущий курс евро к доллару и курс евро к доллару с лагом в один день.
Однако интерпретация формулы (7.5) не столь очевидна, поскольку она относится к логарифмическому ряду. Поэтому с помощью потенцирования этой формулы можно перейти от логарифмов к исходному временному ряду, как мы это уже делали при преобразовании формулы (6.5) в формулу (6.6). В результате исходная линейная функция (7.5), решенная относительно логарифмического временнoго ряда, станет степенной функцией, которую можно применять относительно исходного временнoго ряда:
