Нижняя схема демонстрирует реальный пример такой ситуации. На ней изображены области пересечения букв из разных алфавитов: греческого (сверху слева), латинского (сверху справа) и русского (внизу). Ручаюсь, что вам вряд ли удастся прийти к правильному выводу по поводу совпадения данных категорий, используя только вербальные высказывания о них. Уверен, что у меня наверняка получилась бы просто каша из трех алфавитов.
Одних диаграмм Венна, конечно, недостаточно, чтобы подготовить вас к решению всех соответствующих задач, но они могут научить вас основным принципам наглядного изображения принадлежности или непринадлежности к категориям. Возможно, вы поймете, что диаграммы Венна могут оказаться для вас полезны.
Логика высказываний
Силлогизмы можно применять в очень небольшом числе выводов, которые нам приходится делать в повседневной жизни. Гораздо более важно использовать логику высказываний, которая применяется повсеместно.
Философы и логики время от времени обращались к логике высказываний, постепенно развивая эту область науки приблизительно с III в. до н.э. и до XIV в. Начиная с середины XIX в. логики начали делать заметные успехи в области логики высказываний, уделяя особенное внимание таким «операторам», как союзы «и» и «или». «И» служит для «соединения» таких высказываний, как «А верно и В верно; следовательно, А и В верны». «Или» служит для «разъединения», например, «А верно или В верно; А верно, следовательно, В не верно». Именно исследование логики высказываний в то время легло в основу программирования и создания компьютеров.
В начале этой главы я попросил вас решить задачу с карточками. Теперь вы видите, что она требует применения условной логики. Если П, тогда Р. «Если на одной стороне карточки написана гласная, то на другой стороне написано четное число». Перед тем как мы посмотрим, как вы справились с этой задачей, давайте рассмотрим еще одну ситуацию.
Вы инспектор полиции. Одна из ваших обязанностей — проверять, что рестораны не продают алкогольные напитки лицам младше 21 года. Ваша задача — сказать, кого из клиентов вам необходимо проверить, чтобы убедиться, что он не нарушает правила «Если клиент пьет алкогольный напиток, значит, клиенту не меньше 21 года». Вам нужно проверить только тех клиентов, которых обязательно нужно проверить, чтобы выяснить, что правило соблюдается.
За первым столиком, который вы видите, сидят четыре человека. Вы видите, что
Вам нужно проверить:
а) клиента 1;
б) клиентов 1, 2, 3 и 4;
в) клиентов 3 и 4;
г) клиентов 1, 3 и 4;
д) клиентов 1 и 3.
Готов поспорить, что вы выбрали вариант в) — клиентов 3 и 4. Теперь вернемся к задаче с карточками. Готов поспорить, что вы не выбрали вариант в), карточка 3 и 4. Теперь вы видите, какое решение было правильным? Логически структура этих двух задач идентична. Давайте проверим мою логику.
ЗАДАЧА С КАРТОЧКАМИ
Нужно убедиться, что соблюдается следующее правило: гласная — значит на другой стороне карточки должно быть четное число.
N — не важно, четное ли число на другой стороне карточки.
4 — не важно, гласная ли буква на другой стороне карточки.
А — должно быть четное число на другой стороне карточки. В противном случае правило нарушается.
3 — не должна быть гласная на другой стороне карточки. В противном случае правило нарушается.
ЗАДАЧА ПРО РЕСТОРАН
Нужно убедиться, что соблюдается следующее правило: если человек пьет алкоголь, ему должен исполниться 21 год.
Клиент, которому за 50, — не важно, пьет он или нет.
Клиент, который не пьет, — не важно, сколько ему лет.
Клиент, который пьет, — ему должен исполниться 21 год. В противном случае правило нарушается.
Клиент, которому нет 21 года, не должен пить. В противном случае правило нарушается.
Не расстраивайтесь, если вы не справились с задачей с карточками. Абстрактную ее версию смогли решить менее 20% студентов Оксфорда!
Почему задача с карточками оказалась настолько сложнее, чем задача про ресторан? На первый взгляд это может показаться странным, потому что обе задачи решаются с применением условной логики, а именно с помощью простейшего принципа условной логики—правила отделения (modus ponens):
Если верно П, значит, верно Р. Если клиент пьет, значит, клиенту 21 год. П верно. Клиент пьет. Следовательно, Р верно. Клиенту как минимум 21 год.Правило отделения подразумевает правило отрицания (modus tollens). (Если неверно П, значит, неверно Р.) Пример, в котором Р (возраст 21 или больше) не верно, но П (клиент пьет) верно, противоречит условному правилу.
Заметьте, что П (клиент пьет) — это достаточное, но необязательное условие для Р. Достаточно того, что П верно, чтобы Р было тоже верно. Многие другие условия могут быть достаточными, чтобы требовалось, чтобы человеку уже исполнился 21 год. Например, управление самолетом или азартные игры.
В биусловном высказывании, если П верно, этого одновременно достаточно и необходимо, чтобы было верно Р. Сюда входит (довольно странное) правило о том, что, если вы пьете алкогольный напиток, вам уже должен исполниться 21 год, а если вам уже исполнился 21 год, то вы, должно быть, пьете алкогольные напитки.
После того как мы обсудим проблему условного логического мышления, мы вернемся к вопросу о том, почему задачу про алкоголь так легко решить.
Правдоподобие, обоснованность и логика условных высказываний
Как мы увидели, силлогистические доказательства могут быть обоснованными — то есть могут быть верно отражены в форме аргументированного доказательства, — даже если выводы будут неверными. Точно так же дело обстоит и с логикой высказываний.
Решите, какое из следующих доказательств, имеющих по две предпосылки и по одному выводу, является обоснованным.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО А
Условие 1. Если он умер от рака, значит, у него была злокачественная опухоль.
Условие 2. У него была злокачественная опухоль.
---------------------------------
Вывод. Следовательно, он умер от рака.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Б
Условие 1. Если он умер от рака, значит, у него была злокачественная опухоль.
Условие 2. Он умер не от рака.
---------------------------------
Вывод: Следовательно, у него не было злокачественной опухоли.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В
Условие 1. Если он умер от рака, значит, у него была злокачественная опухоль.
Условие 2. Он умер от рака.
---------------------------------
Вывод. Следовательно, у него была злокачественная опухоль.
Только доказательство В является обоснованным. Оно согласуется с правилом отделения: если П (умер от рака) верно, тогда верно Р (была опухоль). П (рак) верно. Следовательно, Р (опухоль) верно. Правдоподобность выводов в доказательствах А и Б сбивает нас с толку, заставляя думать, что доказательства обоснованы. Но доказательство А представлено в необоснованной форме: если П (умер от рака), тогда Р (опухоль). Р (опухоль) верно. Следовательно, П (умер от рака). Это называется ошибкой преобразования, потому что форма логического хода мысли ошибочно преобразует предпосылку «если П, тогда Р» в предпосылку «если Р, тогда П». (Если у него была злокачественная опухоль, значит, он умер от рака.) Если бы это было предпосылкой, тогда мы бы действительно считали, что если Р верно, то П также верно. Но это не являлось предпосылкой данного доказательства.
Если мы не контролируем логическую обоснованность своих доказательств, мы постоянно совершаем ошибки преобразования.
ОШИБКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1
Если машина не в гараже, значит, Джейн поехала в город.
Дженнифер сказала, что видела Джейн в городе.
Следовательно, машина не в гараже.
Конечно же, Джейн могла добраться до города как-то иначе, не на машине, и в таком случае машина, вероятно, будет в гараже. Эта ошибка совершается из-за дополнительной информации, содержащейся в нашем опыте. Если Джейн редко выбирается куда-то без машины, мы, скорее всего, совершим такую ошибку; если же она иногда ездит на автобусе, а иногда ее подвозит подруга, то вероятность, что мы совершим эту ошибку, меньше.
ОШИБКА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 2
Если у меня грипп, у меня болит горло.
