- Ну и что же из того явствует? - не утерпел Кондырев. - При чем же здесь геометрия и пятый постулат?
Лобачевский ответил:
- Геометрия для меня - составная и нераздельная часть науки о природе. Раз так, то главная задача ее - познать, раскрыть в своих понятиях и аксиомах свойства нас окружающего мира. Как учат философы Демокрит, Ломоносов, Радищев и Дидро, первопричина всех явлений природы - материя. Но, как известно, материя немыслима вне движения, а движение всегда протекает в пространстве...
- Опять свое... - махнул рукой Никольский. - Ма-тее-ерия, движе-ние... К чему эти слова пустые?.. Вы же сами, Николай Иванович, сегодня в лекции толком не сказали, как это можно связать с "Началами" Евклида. Не так ли?
Наступила неловкая пауза. Признаться в своем бессилии? Лобачевский помолчал.
- Да, - наконец произнес он. - Об этом еще нужно серьезно подумать... Потому-то я и воздержался говорить об аксиомах. Но полагаю, что искомая связь должна быть найдена. Вероятно, истинность аксиомы прямой состоит именно в согласованности ее с природой.
- Та-ак-с, - протянул Кондырев. - А как же пятый постулат?
Лобачевский подумал.
- Одни геометрические истины мы познаем пз опыта, - сказал он, - а другие, при недостатке наблюдений, должны предполагать умственно.
- Ага! - воскликнул Никольский. - Вот вам и уголок для божественной мудрости.
- Ничуть! - усмехнулся Лобачевский. - Мы докажем аксиому параллельности как теорему на такой основе, которая...
- Хо-хо, дорогой коллега! - снова прервал его Никольский. - Невозможно сие человеку! Такие небылицы можете рассказывать юным студентам, а не старикам.
Лобачевский хотел было возразить, но вмешался Броннер:
- Зачем только я завел этот разговор! Для ссоры?.. Не горячитесь, дружок, - обратился он к Лобачевскому. - Трудно вас понять. Однако я верю вам и советую: подумайте, что сказали вам другие. Долю их возражений примите - они вам пригодятся.
Лобачевский понял, что разговор окончен.
- Простите, - сказал он, обращаясь ко всем.
Никольский пожал плечами.
- Да, да, не будем ссориться в такой знаменательный для вас день, государь мой, - сказал он, протягивая Лобачевскому руку.
В эту ночь он спал неспокойно. Снились ему то Никольский, то Кондырев, которые двигались по комнате весьма странно: первый - ходом ладьи, второй - ходом коня, и произносили какие-то непонятные слова. Раза два просыпался он в холодном поту и чувствовал, что вчерашний спор бессознательно продолжается и во сне.
- Что за черт! - не выдержал он и, поднявшись, распахнул окно.
Прохладные капли дождя залетали в комнату. Внизу чернели крыши города. Над ними при ярких вспышках молний возникали четкие контуры белого здания университета и снова погружались в темноту.
Вот уже второй год Лобачевский с матерью и братом жили в двухэтажном доме на косогорной Лядской улице, почти рядом с университетом. Это было удобно, тем более что с началом занятий пришлось экономить время так строго, что на сон оставалось каких-нибудь шесть часов, не больше.
Вдохнув полной грудью прохладный воздух, он закрыл окно и снова лег надо было выспаться до рассвета.
Предутренний сон самый крепкий, так что Никольский и Кондырев уже не помешают...
Но вот наступило утро. Солнечный луч, продвигаясь по комнате, озарил подушку, и Лобачевский проворно вскочил с кровати. Накинув пестрый халат, он сошел с крыльца на широкий двор. За ночь отгремевшие грозовые тучи покинули город.
Прищурив глаза, Лобачевский посмотрел в чистое небо, затем, спохватившись, резким движением сбросил халат на скамейку и сделал несколько гимнастических упражнений.
- Совсем другое самочувствие, - сказал он, улыбаясь, Алексею, выглянувшему в окно. - Тебе тоже советую.
Прекрасная штука - гимнастика. Молодцы греки!
Под конец, обливаясь холодной водой, Лобачевский невольно вспомнил вчерашний спор. То ли от воспоминания, то ли от холодной воды по телу пробежала дрожь. Он растерся жестким полотенцем и, вернувшись в комнату, решил: надо привести в порядок мысли, рожденные вчерашним спором.
- Ну что же, друг, - сказал он самому себе, - зафиксируем все, что сказали другие, и поразмыслим...
Раскрыв тетрадь и обмакнув гусиное перо в чернила, начал он торопливо записывать:
1. "Пятый постулат - пятно геометрии" (Бартельс).
2. "Истинность аксиомы параллельности зависит, пожалуй, от понятия о прямой линии, полученного из опыта"
(Симонов).
3. "Аксиома прямой характеризует коренное свойство того пространства, в котором находится такая линия"
(Броннер).
- Интересная мысль! - пробормотал он, записывая.
4. "Геометрия является наукой, определяющей свойства пространства" (Кант).
5. "Пространство - это безграничная, по всем направлениям однообразная пустота" (Кант и Бартельс).
- Кажется, и Ньютон придерживается такого же мнения. Проверить!
6. "Пятый постулат есть необходимое следствие наших понятий о пространстве" (Бартелъс).
7. "Геометрия, подобно шахматам, пустая игра по совершенно произвольным правилам с придуманными аксиомами" (Кондырев и Никольский)...
Лобачевский отложил тетрадь в сторону и долго сидел неподвижно, погруженный в размышления. От вопроса к вопросу он все больше углублялся в корни геометрии, хранившей для него столько загадок. Не раз уже казалось ему, что близок он к цели. Еще сделать шаг и... Но шаг этот каждый раз не приближал его к заветной цели.
Вот ж сейчас. Вчерашний снор столкнул его с проблемой, с которой он, как геометр, неизбежно должен был встретиться. Пятый постулат, много веков занимающий умы ученых, доставивший лучшим геометрам столько тревог, остается по-прежнему загадкой. Простой и... неразрешимый вопрос.
- Неразрешимый ли? - поднялся Лобачевский и возбужденно заходил по комнате. - Надо разрешить. Непременно! Доказать, что геометрия не произвольное творение математиков, не игра ума! - Он подошел к шкафу и достал нужную книгу.
Евклид. На ходу перелистывая страницы, Лобачевский вернулся к столу. Вот они - пять предложений, составляющих теорию параллельных линий [Определение самого Евклида: параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются]. Он знал их наизусть и даже, закрыв глаза, видел перед собой знакомые строчки. Но все же каждый раз, открывая книгу, надеялся найти в них что-то новое... намек... разгадку...
Делая пометки в тетради, не раз он возвращался к прямым теоремам параллельных.
(Lobach01.gif)
"Предложение 27. Если прямая EF, пересекая две (другие) прямые Л В и CD, образует с ними равные накрестлежащже углы (например, с и е), то эти прямые А В и CD параллельны".
"Предложение 28. Если прямая EF, пересекая две (другие) прямые АВ и CZ), образует внешний угол (например, а), равный внутреннему противолежащему с той же стороны (то есть соответственному углу е), или если внутренние односторонние углы (например, d и е) составляют вместе два прямых угла (то есть 180°), то эти прямые АВ и CD параллельны".
Лобачевский, отложив перо, задумался. Нет, ни к чему тут не придерешься. Доказательство прямой теоремы параллельных Евклид выполнил безупречно, четко, на солидной основе первых двух постулатов и общих логических положений. Из этого, однако, еще не следует, что непременно должна быть справедливой и обратная теорема.
Если мы, например, знаем, что человек работает в Казанском университете, преподает или учится, то, конечно, живет он в Казанской губернии. Но можно ли утверждать: если человек живет в Казанской губернии, то работает он в Казанском университете? Нет, разумеется, это уже под вопросом. В геометрии то же самое: истинность какой-либо теоремы еще ничего не говорит об истинности обратного суждения. Поэтому необходимо проверить:
справедливо ли утверждение, обратное предложениям 27 и 28? Так появилась в "Началах" Евклида следующая, 29 теорема [Прямая теорема о параллельных прямых: если при пересечении двух прямых третьей оказалось, что "te+"Cd = 180° (или выполняется любое из 12 подобных равенств), прямые параллельны.
Обратная теорема о параллельных прямых: если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей окажется, что - L"f:d = 180° (или выполняется любое из 12 подобных равенств).].
"Предложение 29. Прямая, пересекая две параллельные прямые, образует с ними равные накрестлежащие углы, внешний угол равен соответственному внутреннему, а внутренние односторонние углы составляют вместе два прямых".
Доказательство этой обратной теоремы параллельных нужно было выполнить теми же средствами, какими доказаны предыдущие двадцать восемь утверждений "Начал", то есть ссылкой на ранее выведенные предложения, и в конечном итоге ссылкой на первые четыре постулата и общие логические положения. Но тут Евклид неожиданно изменил своему принципу. Он прибег к новому постулату, который - что казалось таким странным - был просто-напросто перефразировкой доказываемой теоремы:
