Доказательство этой обратной теоремы параллельных нужно было выполнить теми же средствами, какими доказаны предыдущие двадцать восемь утверждений "Начал", то есть ссылкой на ранее выведенные предложения, и в конечном итоге ссылкой на первые четыре постулата и общие логические положения. Но тут Евклид неожиданно изменил своему принципу. Он прибег к новому постулату, который - что казалось таким странным - был просто-напросто перефразировкой доказываемой теоремы:
"Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов меньше 2d, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 2d".
Это и есть пятый постулат Евклида [В настоящее время вместо Евклидовой формулировки принимают ей эквивалентную, принадлежащую английскому математику XVIII столетия Плейферу: через точку, взятую вне прямой, в ее плоскости можно провести только одну прямую, не встречающую данную]. И каждый, кто приступает к изучению геометрии, должен принять ево суть на веру, без доказательств, рассматривая как одну из исходных истин, на которых строится вся геометрия.
Но разве предыдущее предложение менее очевидно, чем это? На каком же основании возводить его в ранг аксиомы? Оно скорее производит впечатление теоремы - по своему содержанию значительно сложнее других постулатов и для понимания требует уже ряд предварительных сведений. Более того, в "Началах" оно используется довольно поздно, лишь в доказательстве двадцать девятого предложения, тогда как ко всем остальным аксиомам и постулатам Евклид прибегает в первых же своих теоремах.
Да, это произвольное допущение действительно является "темным пятном" геометрии, нарушающим всю ее гармонию. Оно помещено среди постулатов не потому, что его нельзя доказать, вывести умозаключением из других, более очевидных истин, а только потому, что Евклид не смог отыскать удовлетворительного решения. Геометрию нужно очистить от этого пятна, следует найти доказательство и свести пятый постулат в ранг теоремы.
Рассуждая, Лобачевский запустил пальцы в густые волосы.
- Но как приступить к решению этой задачи? - прикусил он кончик гусиного пера. - Будем исходить из аксиомы прямой: через две точки можно провести только одну прямую. Так? - Перо теперь заскрипело по шершавой бумаге. - Однако существует ли геометрическая связь между этой аксиомой и пятым постулатом?
Лобачевский тщетно пытался ухватить какую-нибудь наводящую нить, но та не давалась, ее пока не было.
В кабинет вошла Прасковья Александровна.
- Кушать пора, сынок.
- Разве... - очнулся он. - Какой тут завтрак... Я пока не хочу.
- Не завтрак, - напомнила мать. - Подошел обед... Не останови тебя, так ты не вспомнишь и до вечера. Ну, как хочешь, а я принесу.
Когда на столе появилось первое блюдо, в комнату, распахнув дверь, неожиданно ворвался Броннер. Полы его длинного незастегнутого сюртука развевались, шляпу он держал в руке.
- Нашел, Николай! Нашел! - крикнул он еще с порога. - Не зря называли меня иллюминаты Аристотелем. Целый день искал и все-таки нашел.
Николай удивленно смотрел на физика: его крупное лицо с широким лбом, обрамленное длинными волосами, которые он то и дело закладывал за уши, было бледным. Он всегда бледнел, когда был чем-нибудь взволнован.
- Добрый день, учитель! - обратился к нему Николай по-немецки. Садитесь, пожалуйста!
Броннер бережно достал из бумажного свертка старую, потрепанную книжку и, протянув ее Лобачевскому, сказал:
- Откройте сорок восьмую страницу... Нашли? Обратите внимание вот на эти строчки!
- "Необходимость в математических польожелинх и необходимость в вещах, возникающих согласно природе, - прочел Николай на греческом языке, - в известном отношении очень сходны, именно, если прямая линия есть вот это (то есть установленное аксиомой прямой), то необходимо, чтобы треугольник имел (внутренние) углы, равные двум прямым..." Послушайте, ведь это же интересно! - прервал чтение Лобачевский. - Чьи слова?
- То-то же, - с некоторой гордостью отозвался Броннер. - Дальше читайте.
- "Однако нельзя еще сказать, что если последнее положение правильно, то правильно и первое, а только:
если оно (то есть утверждение, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°) неправильно, не будет и прямой... не будет начал, если треугольник не будет иметь два прямых угла".
Лобачевский посмотрел на Броннера.
- Это же Аристотель! - воскликнул он. - Спи огненные слова мне врезались в память еще в гимназии.
- А вы читайте, читайте! - улыбнулся физик. - Вот здесь.
- "Говоря правильно относительно некоторых вещей, - пробежал Николай отмеченные строки, - нельзя утверждать, что это относится ко всему. Ведь и треугольник всегда имеет (внутренние) углы, равные двум прямым, однако причина сей вечности лежит в другом, для начал же, которые существуют вечно, такой другой причины нет..."
Гм... В одном предложении столько мудрых мыслей, что и голова не вмещает. Я немедленно перепишу.
Он раскрыл титульный лист книги:
- "Физика"?
- Да, - сказал Броннер, - та самая, которую мы когда-то с вами купили в книжной лавке. Изучил я это сочинение от корки до корки еще в студенческие годы, в Эйхштадтском университете.- Мне запомнилась тогда крылатая фраза, которую искал я сегодня в этой книге... Догадались какая?
Лобачевский ответил:
- "Если прямая линия есть вот это, то есть предписанное аксиомой прямой, то необходимо, чтобы треугольник имел внутренние углы, равные двум прямым". Не та ли?
- Та, - улыбнулся физик. - Когда вчера на банкете завели разговор о том, что истинность пятого постулата вытекает из определенных свойств прямой линии, мне сразу же показалось, что у кого-то я читал об втжж вещах. А дома вспомнил Аристотеля...
Тут Броннер заметил, что Лобачевский уже не слушает его.
- Теорема о сумме внутренних углов треугольника опирается на постулат о параллельных линиях, - рассуждал он вслух, - и если бы удалось независимо от постулата Евклида установить, что сумма углов треугольника равна двум прямым, то, опираясь на это предложение, можно было бы легко доказать и самый постулат... Кажется, гдето я читал об этом...
- Вот именно, - прервал его размышления Броннер, - из аксиомы прямой вывести теорему о сумме внутренних углов треугольника, а из нее утверждение, содержащееся в постулате Евклида. Оно без всякого сомнения может быть вполне доказано. Так предполагали еще древние мыслители. Вот что писал, например, знаменитый Прокл.
Я прочту вам перевод с английского текста, изданного в Лондоне в 1792 году. - Броннер достал из свертка другую книгу в кожаном переплете и, полистав ее, нашел подчеркнутые строчки: - "Это утверждение должно быть совершенно изъято из числа постулатов, потому что оно - теорема, вызывающая много сомнений... и сам Евклид дает обращение этого предложения в качестве теоремы".
Броннер на минуту задержался. Лобачевский спросил его:
- Все?
- Нет, еще не все. Дальше идут знаменательные строки. Послушайте: "Конечно, совершенно необходимо признать, что прямые линии наклоняются одна к другой, когда прямые углы заменяются острыми [(lobach02.gif)То есть когда перпендикуляры к секущей заменяются наклонными, образующими с ней острые внутренние односторонние углы]. Однако то, что эти наклонные при продолжении сойдутся, остается не достоверным, а лишь вероятным до тех пор, покуда этому не дано будет логическое доказательство, ибо существуют бесконечные наклонные линии, которые никогда не сходятся... [(lobach02.gif) Например, две гиперболические ветки АА' и BE' могут асимптотически приближаться одна к другой, образуя острые углы из концов секущей АВ] Но то, что бывает при других линиях, почему же не может быть при прямых? До тех пор, пока мы этого не обнаружим путем доказательства, свойства, которые могут проявиться при неограниченном продолжении других линий, тяготеют над нашим воображением... Совершенно ясно: должно быть найдено доказательство настоящей теоремы, а такое требование природе постулатов совершенно чуждо..." Что вы скажете на это?
Лобачевский крепко пожал его руку.
- Спасибо вам, герр профессор! - поблагодарил он учителя. - Разрешите выписать прочитанные вами фразы.
В них я нашел подтверждение собственной мысли.
- Тем паче вы должны разрубить этот гордиев узел.
И я благословляю вас! - улыбнулся Броннер. - Как бывший священник, хотя и отрекшийся.
Подумав, он добавил:
- Мне кажется, что главная цель молодого ученого - это приучить себя думать... Думать - значит неустанно направлять мысли на предмет исследования, иметь его в виду и ныне и завтра; говорить, писать, спорить о нем; подходить к нему с одной и с другой стороны, собрать все доводы в пользу того или другого мнения и справедливо их взвесить. Во-вторых, загляните в "Начала геометрии"
Лежандра. Не включает он в число аксиом постулата о параллельных линиях и в каждом новом издании дает вместо него то или другое доказательство, которое, однако, всякий раз оказывается неудовлетворительным. У вас, Николай Иванович, получится. Верю в это. Я с начала поиска на вашей стороне, потому что мне самому часто приходится размышлять о параллельных. Мы, физики, весьма заинтересованы в том, чтобы этот пятый постулат был доказан, ибо до сих пор некоторые наши теории висят в воздухе... Ну, как говорит ваша русская пословица, - ни пуха ни пера!
