Лит.: Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучений, М., 1967; Метод статистических испытаний (Метод Монте-Карло), М., 1962; Решение прямых и некоторых обратных задач атмосферной оптики методом Монте-Карло, Новосиб., 1968; Ермаков С. М., Метод Монте-Карло и смежные вопросы, М., 1971; Михайлов Г. А., Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло, Новосиб., 1974.
Г. И. Марчук.
Статистических решений теория
Статисти'ческих реше'ний тео'рия, часть математической статистики и игр теории , позволяющая единым образом охватить такие разнообразные задачи, как статистическая проверка гипотез , построение статистических оценок параметров и доверительных границ для них, планирование эксперимента и др. В основе С. р. т. лежит предположение, что распределение вероятностей F наблюдаемой случайной величины X F принадлежит некоторому априори данному множеству . Основная задача С. р. т. состоит в отыскании наилучшего статистического решения или решающего правила (функции) d = d (x ), позволяющего по результатам наблюдений х над Х судить об истинном (но неизвестном) распределении F. Для сравнения достоинств различных решающих правил вводят в рассмотрение функцию потерь W [F, d (x )], представляющую убыток от принятия решения d (x ) (из заданного множества D ), когда истинное распределение есть F. Естественно было бы считать решающее правило d* = d* (x ) наилучшим, если средний риск r (F, d* ) = MF W [F, d (X )] (MF — усреднение по распределению F ) не превышает r (F, d ) для любого F Î и любого решающего правила d = d (x ). Однако такое «равномерно наилучшее» решающее правило в большинстве задач отсутствует, в связи с чем наибольший интерес в С. р. т. представляет отыскание т. н. минимаксных и бейесовских решений. Решение называется минимаксным, если
Решение называется бейесовским (относительно заданного априорного распределения n на множестве ), если для всех решающих правил d
,
где
между минимаксными и бейесовскими решениями существует тесная связь, заключающаяся в том, что в весьма широких предположениях о данных задачи минимаксное решение является бейесовским относительно «наименее благоприятного» априорного распределения p.
Лит.: Вальд А., Статистические решающие функции, в сборнике: Позиционные игры, М., 1967: Леман Э., Проверка статистических гипотез, пер. с англ., М., 1964.
А. Н. Ширяев.
Статистическое моделирование
Статисти'ческое модели'рование, численный метод решения математических задач, при котором искомые величины представляют вероятностными характеристиками какого-либо случайного явления, это явление моделируется, после чего нужные характеристики приближённо определяют путём статистической обработки «наблюдений» модели. Например, требуется рассчитать потоки тепла в нагреваемой тонкой металлической пластине, на краях которой поддерживается нулевая температура. Распределение тепла описывается тем же уравнением, что и расплывание пятна краски в слое жидкости (см. Теплопроводность , Диффузия ). Поэтому моделируют плоское броуновское движение частиц «краски» по пластине, следя за их положениями в моменты k t, k = 0, 1, 2,... Приближённо принимают, что за малый интервал t частица перемещается на шаг h равновероятно во всех направлениях. Каждый раз направление выбирается случайным образом, независимо от всего предыдущего. Соотношение между t и h определяется коэффициентом теплопроводности. Движение начинается в источнике тепла и кончается при первом достижении края (наблюдается налипание «краски» на край). Поток Q (C) тепла через участок С границы измеряется количеством налипшей краски. При общем количестве N частиц согласно больших чисел закону такая оценка даёт случайную относительную ошибку порядка (и систематическую ошибку порядка h из-за дискретности выбранной модели).
Искомую величину представляют математическим ожиданием числовой функции f от случайного исхода w явления: , т. е. интегралом по вероятностной мере Р (см. Мера множества ). На оценку , где w1 ,..., wN -смоделированные исходы, можно смотреть как на квадратурную формулу для указанного интеграла со случайными узлами wk и случайной погрешностью R N обычно принимают , считая большую погрешность пренебрежимо маловероятной; дисперсия Df может быть оценена в ходе наблюдений (см. Ошибок теория ).
В разобранном выше примере f (w)= 1, когда траектория кончается на С; иначе f (w) = 0. Дисперсия . Интеграл берётся по пространству ломаных со звеньями постоянной длины; он может быть выражен через кратные интегралы.
Проведение каждого «эксперимента» распадается на две части: «розыгрыш» случайного исхода w и последующее вычисление функции f (w). Когда пространство всех исходов и вероятностная мера Р слишком сложны, розыгрыш проводится последовательно в несколько этапов (см. пример). Случайный выбор на каждом этапе проводится с помощью случайных чисел, например генерируемых каким-либо физическим датчиком; употребительна также их арифметическая имитация — псевдослучайные числа (см. Случайные и псевдослучайные числа ). Аналогичные процедуры случайного выбора используются в математической статистике и теории игр.
С. м. широко применяется для решения на ЭВМ интегральных уравнений, например при исследовании больших систем . Они удобны своей универсальностью, как правило, не требуют большого объёма памяти. Недостаток — большие случайные погрешности, слишком медленно убывающие при увеличении числа экспериментов. Поэтому разработаны приёмы преобразования моделей, позволяющие понижать разброс наблюдаемых величин и объём модельного эксперимента.
Лит.: Метод статистических испытаний (Метод Монте-Карло), М., 1962; Ермаков С. М., Метод Монте-Карло и смежные вопросы, М., 1971.
Н. Н. Ченцов.
Статистическое наблюдение
Статисти'ческое наблюде'ние, см. Выборочное наблюдение , Наблюдение сплошное .
Статистическое оценивание
Статисти'ческое оце'нивание, совокупность способов, употребляемых в математической статистике для приближённого определения неизвестных распределений вероятностей (или каких-либо их характеристик) по результатам наблюдений. В наиболее распространённом случае независимых наблюдений их результаты образуют последовательность
X1 , X2 ,..., Xn ,... (1)
независимых случайных величин (или векторов), имеющих одно и то же (неизвестное) распределение вероятностей с функцией распределения F (x ). Часто предполагают, что функция F (x ) зависит неизвестным образом от одного или нескольких параметров и определению подлежат лишь значения самих этих параметров [например, значительная часть теории, особенно в многомерном случае, развита в предположении, что неизвестное распределение является нормальным распределением , у которого все параметры или какая-либо часть их неизвестны (см. Статистический анализ многомерный )]. Два основных вида С. о. — т. н. точечное оценивание и оценивание с помощью доверительных границ . В первом случае в качестве приближённого значения для неизвестной характеристики выбирают какую-либо одну функцию от результатов наблюдений, во втором — указывают интервал значений, с высокой вероятностью «накрывающий» неизвестное значение этой характеристики. В более общих случаях интервалы, образуемые доверительными границами (доверительные интервалы), заменяются более сложными доверительными множествами.
