При изучении корреляционной зависимости между критериями, выраженными в баллах или классовых вариантах и при большом количестве сопоставляемых пар, целесообразней r вычислять по способу сумм [141] с использованием корреляционной решетки и формулы
Таблица 8
Расчет показателя корреляции рангов
где Spaxay – сумма произведений частот корреляционной решетки (Pxy) на соответствующие порядковые номера классов (баллов); S – сумма первого полного ряда накопленных частот, получаемого кумуляцией частот каждого ряда в направлении, обратном порядковой нумерации классов; σx и σy – средние квадратические отклонения рядов; N – общее число парных наблюдений.
Изучая корреляционную связь между двумя признаками x и y, необходимо помнить о возможности существования зависимости или влияния на них других варьирующих признаков. Поэтому наряду с изучением парных корреляций возникает задача измерения множественных связей между варьирующими признаками индивидуальных психофизиологических особенностей организма и критериями успешности обучения. Для решения этой задачи необходимо воспользоваться коэффициентом общей или совокупной корреляции и частными или парциальными коэффициентами корреляции.
Совокупный коэффициент корреляции между варьирующими признаками x, y и z вычисляется по следующей формуле:
где rxy, rxz и ryz – парные коэффициенты линейной корреляции между признаками x и y, x и z, y и z.
На практике чаще применяется парциальный коэффициент корреляции, измеряющий связь между двумя варьирующими признаками x и y при постоянном значении третьего – z – учитываемого признака, который может иметь или имеет связь с первыми двумя. Так, парциальный коэффициент между x и y при исключительном влиянии на эту связь, составляет
Соответственно рассчитываются коэффициенты парциальной корреляции между x и z при влиянии y– rxz(y); y и z – при влиянии x– ryz(x).
Как видно из приведенных формул, расчет значений совокупного и парциальных коэффициентов корреляций производится на основе парных коэффициентов корреляций.
В некоторых случаях возникает необходимость изучения связи между несколькими внешними критериями, даваемыми разными экспертами (независимые характеристики, ранжирование и др.), и ее достоверности. Например, для обеспечения объективности выведения оценки летных способностей курсантов по 9-балльной шкале по мнению четырех экспертов А, Б, В, Г из летно-инструкторского состава (командир и его заместители) необходимо определить степень совпадения их мнений в отношении одних и тех же курсантов. Для этой цели используется показатель корреляции рангов для суммарной ранжировки – коэффициент конкордации
где Σd2 – сумма квадратов отклонений индивидуальных сумм рангов от средней индивидуальной суммы рангов; m – число сравниваемых ранжированных рядов; N – численность выборки. W показывает степень согласия ранжированных рядов, и его значения могут колебаться от 0 до 1 (табл. 9).
В данном примере он достаточно высок (W = 0,91) и свидетельствует о единстве мнений внешних экспертов по оценке летных способностей курсантов.
В ряде случаев, когда критерии профессионально-психологической пригодности и успешности обучения не распределяются в вариационный ряд, корреляция между ними устанавливается по наличию нескольких качественных признаков в связи с качественными признаками обучения.
Корреляция между качественными признаками, группируемыми в 4-клеточную корреляционную решетку, определяется c помощью коэффициента ассоциации (ra) Дж. Юла – тетрахорического показателя связи. Когда изучается корреляционная зависимость между несколькими качественными признаками, группируемыми в многоклеточные таблицы, используется коэффициент взаимной сопряженности (К) – полихорический показатель связи.
Таблица 9
Расчет коэффициента конкордации
Таблица 10
Расчет коэффициента ассоциации
Рассмотрим пример вычисления коэффициента ассоциации при изучении связи между такими критериями пригодности, как I и IV группы, и критериями успешности обучения – лучшие и отчисленные:
где a, b, c, d – численности альтернативных признаков (практически неограничены).
В корреляционной решетке (табл. 10) приведены исходные данные для расчетов (x – группа; y – успешность обучения).
Подставляя в формулу соответствующие значения из таблицы, находим величину коэффициента ассоциации (ra = 0,65), который выражается в долях от 0 до 1. Достоверность оценивается по его отношению к средней ошибке, определяемой по формуле
откуда t = 16,25.
Достоверность ra может быть определена также и по специальным таблицам [52].
При изучении корреляционной зависимости между вариационными рядами с отсутствием линейной зависимости более правомерным является вычисление корреляционного отношения, которое измеряет состояние любых, в том числе и нелинейных, связей между признаками.
В отличие от коэффициента корреляции, изучающего двустороннюю связь между x и y, корреляционное отношение (η) показывает только зависимость изменений второго (y) признака от изменений первого (x), или наоборот. Корреляционное отношение – величина относительная, положительная и принимает значение от 0 до 1. Показатели корреляционного отношения обычно не равны между собой – ηy/x ≠ ηx/y. Они определяются по следующим формулам
и
где
Эти формулы можно выразить и в другом виде:
По приведенным формулам удобно определять коэффициенты корреляционного отношения для небольших выборок, а при наличии большого числа наблюдений необходимо предварительно весь материал группировать в вариационные ряды и вносить в корреляционную таблицу.
Рассмотрим вычисление корреляционного отношения на выборке из 10 наблюдений (табл. 11).
Таблица 11
Вычисление корреляционного отношения
Сначала находим коэффициент корреляционного отношения полетов y по грубым ошибкам x, то есть ηy/x, для чего ранжируем выборку по x (значения x расположены в возрастающем порядке сверху вниз). Затем определяем вспомогательные величины для вычисления корреляционного отношения по x и подставляем в формулу, откуда ηy/x = 0,99.
Таким же способном определяем корреляционные отношения грубых ошибок x по полетам y, ранжируя выборку по y и определяем ηy/x.
Для оценки достоверности полученных величин используем формулу
и по специальной таблице [52] находим значение P = 99,9 %.
Вычисление корреляционного отношения на больших выборках после предварительного заполнения корреляционной решетки можно производить по способу произведений, способу условных средних и способу суммирования [141].
Регрессионный анализ. Описанные показатели корреляции позволяют измерять степень связи, направление и форму существующей между ними зависимости. Однако они не дают информации о том, насколько в среднем может измениться в ту или другую сторону один из признаков при изменении другого. Такая информация представляет большой практический интерес для разработки методик психологического отбора, а также изучения влияния специальных методов подготовки на успешность профессионального обучения.
Функция, позволяющая по величине одного признака (x) находить средние (ожидаемые) значения другого признака связанного с x корреляционно, называется регрессией, а статистический анализ регрессии получил название регрессионного.
