почти все верят, - то представьте, что коробок не три, а сто. Как только вы сделали свой выбор, Монти открывает девяносто восемь коробок, и все они пусты. Все еще возможно, что ключи от машины находятся в выбранной вами коробке. Но гораздо более вероятно, что они находятся в одной оставшейся коробке, которую Монти не открыл. А если вы все еще не убеждены, есть несколько сайтов, на которых вы можете сыграть в игру Монти Холла против компьютера. Вскоре вы поймете, что лучше поменяться. Проблема очков и анализ шоу Монти Холла являются иллюстрациями ценности вероятностной математики. Каждая из них предлагает совершенно убедительные аргументы в пользу неожиданных результатов.
Принцип безразличия
Решения проблемы очков и игры Монти Холла опираются на то, что стало известно как принцип безразличия - если у нас нет причин считать одну вещь более вероятной, чем другую, мы можем приписать каждой из них равные вероятности. Мы предположили, что герцог и маркиз с равной вероятностью выиграют каждую из оставшихся партий, и, возможно, для этого нам пригодится частотное распределение результатов аналогичных партий в прошлом. В задаче Монти Холла мы решили, что если есть три одинаковых ящика, то вероятность того, что ключи находятся в любом из них, равна одной трети.
Джон Мейнард Кейнс известен всем своим многочисленным вкладом в государственную политику в Великобритании и на международном уровне в межвоенный период и во время Второй мировой войны. Однако еще до Великой войны Кейнс завершил работу над стипендиальной диссертацией - по сути, докторской - в Королевском колледже Кембриджа. Эта работа легла в основу "Трактата о вероятности" , опубликованного в 1921 году. В нем есть глава, посвященная принципу безразличия. Убедительный отказ Кейнса от более общего применения этого принципа можно резюмировать одной иллюстрацией:
Если, для примера, у нас нет никакой информации о площади или населении стран мира, то человек с одинаковой вероятностью может быть жителем Великобритании, как и Франции, и нет никаких причин предпочесть одну альтернативу другой. Он также с такой же вероятностью будет жителем Ирландии, как и Франции. И по тому же принципу он с такой же вероятностью может быть жителем Британских островов, как и Франции. И все же эти выводы явно противоречат друг другу. Ведь первые два предложения вместе дают вывод, что он в два раза вероятнее будет жителем Британских островов, чем Франции. Если мы не станем утверждать, а я не думаю, что это возможно, что знание того, что Британские острова состоят из Великобритании и Ирландии, является основанием для предположения, что человек с большей вероятностью будет жить на них, чем во Франции, то из противоречия нет выхода.
Если мы ничего не знаем о мировой географии, то единственный разумный ответ на вопрос "Какова вероятность того, что человек является жителем Франции?" будет: "Я не знаю".
Кейнс писал о Принципе безразличия: "Ни одна другая формула в алхимии логики не обладала более поразительной силой. Ведь она утверждает существование Бога из предпосылки полного неведения". Кейнс, безусловно, имел в виду знаменитое "пари" Паскаля, основателя теории вероятности: "Бог есть, или его нет. Разум здесь ничего не может решить. ... вы должны заключить пари. Это необязательно... Давайте взвесим выигрыш и проигрыш в пари на то, что Бог есть. Давайте оценим эти два шанса. Если вы выиграете, вы выиграете все; если вы проиграете, вы ничего не потеряете. Тогда без колебаний ставьте на то, что Он есть". Расчет Паскаля был первым расчетом, который объединил вероятности с субъективной оценкой возможных исходов перед лицом самой радикальной из всех неопределенностей.
И проблема очков, и игра Монти Холла являются головоломками - полностью определенными проблемами с известными правилами и четкими ответами. Например, нам сообщают, сколько рук собирались разыграть герцог и маркиз, и мы знаем или делаем вывод, что Монти Холл знал, в какой коробке находятся ключи от машины. Ответы на загадки часто - как в данном случае - очень чувствительны к постановке задачи. Результат Монти Холла зависит от (иногда неосознанной) предпосылки, что Монти знает, в какой коробке находятся ключи. Если он этого не знает, то проблема совсем другая. Тогда Монти мог бы открыть ящик, который отпирает машину, и, предположительно, участник ушел бы с пустыми руками. А если Монти не знает, что содержит каждая коробка, то только случайность приведет его к открытию пустой коробки: тогда суждение о том, что каждая закрытая коробка с одинаковой вероятностью содержит ключи, будет верным. Но самое интересное в этой игре - это муки участников, стоящих перед выбором: переключаться или нет, а зрители выкрикивают свои советы. (В "Давайте заключим сделку" бурное участие зрителей было неотъемлемой частью труднообъяснимой привлекательности шоу для зрителей).
Но как только все поймут проблему, как тогда шоу сможет поддерживать интерес? Могут ли зрители быть уверены, что первоначальные правила все еще применяются? Реальный мир всегда сложен. Многие комментаторы и преподаватели используют проблему Монти Холла, чтобы подчеркнуть, что головоломка или модель может быть "решена" только в том случае, если сделанные предположения полностью определены. И это замечание верно. Но в мире радикальной неопределенности проблемы редко бывают полностью определенными. Математика вероятности требует, чтобы сумма вероятностей всех возможных событий равнялась 1. Поэтому, если мы знаем, что ключи от машины с равной вероятностью находятся в одном из двух ящиков, то вероятность того, что они находятся в любом из них, равна 0,5; если в трех ящиках, то вероятность становится равной одной трети. Если же вероятность того, что ключи окажутся в одном ящике в два раза выше, чем в другом, и они должны быть в одном или другом из двух ящиков , то соответствующие вероятности равны двум третям и одной трети. Но что, если в радикально неопределенном мире мы не в состоянии описать все возможные события и тем более оценить их относительные вероятности? В последующих главах мы покажем, насколько существенна эта проблема для широкого применения вероятностного мышления.
Байес в консультационном кабинете
Проблема Монти Холла - это легкое развлечение, но диагноз рака - это вопрос жизни и смерти. Агитационные организации призывают проводить скрининг на рак груди и простаты. Эти тесты неизбежно несовершенны, иногда они дают необоснованную уверенность - ложноотрицательные результаты - и иногда вызывают необоснованное беспокойство - ложноположительные результаты. Предположим, что маммография выявляет рак молочной железы у 90% женщин с этим заболеванием (этот показатель называется чувствительностью теста), а также правильно подтверждает отсутствие рака у женщин в 90% случаев отсутствия
