заболевания (этот показатель называется специфичностью теста). Эти цифры находятся в верхней части оценок эффективности маммографии.
Конечно, большинство женщин не болеют раком молочной железы. Если общая заболеваемость среди женского населения составляет 1%, какова вероятность того, что у женщины, чья маммограмма дала положительный результат, на самом деле рак груди? Ответ удивляет большинство людей, включая большинство врачей. В популяции из тысячи женщин можно ожидать, что рак будет у десяти, из которых девять будут выявлены с помощью теста. Однако из оставшихся 990 женщин 99 - каждая десятая - получат положительный результат. Таким образом, всего будет 108 положительных результатов, девять из которых правильно определят рак, а 99 - нет. Условная вероятность того, что у женщины с положительным результатом теста есть заболевание, составляет один к двенадцати; положительный тест правильно диагностирует рак только в одном случае из двенадцати.
Этот расчет основан на примере, используемом немецким психологом Гердом Гигеренцером, который уже более десяти лет ведет собственную кампанию против сторонников рутинного скрининга. Случайный скрининг на рак груди и простаты может принести больше вреда, чем пользы, поскольку гипердиагностика этих заболеваний приводит к ненужному беспокойству и ненужным инвазивным процедурам. Чтобы быть эффективным, скрининг должен быть ограничен теми, у кого вероятность заболевания выше, чем у населения в целом. Или же нам нужны тесты с лучшей специфичностью и чувствительностью. Гигеренцер накопил доказательства того, что практикующие врачи, не зная теоремы Байеса, серьезно преувеличивают риски для своих пациентов и достоверность этих тестов. Одна жизнь, спасенная благодаря ранней диагностике, гораздо более значима в их сознании, чем гораздо большее число пациентов, ставших жертвами лечения, в котором они не нуждаются.
Гигеренцер проявил рассудительность и опыт в своем анализе эффективности скрининга рака молочной железы. В его примере использована модель, в которой расчет заболеваемости раком можно рассматривать как головоломку и решать ее. Конечно, Гигерензер не утверждает, что он измерил истинную частоту возникновения рака молочной железы или статистическую достоверность результатов тестов. Но его анализ убедительно показывает, что мнение экспертов, разбирающихся в медицине, но не в теории вероятности, может серьезно вводить в заблуждение.
Мы редко можем быть уверены в обобщении наших моделей на мир - легко придумать причины, по которым женщины, более предрасположенные к раку груди, чаще обращаются за маммографией, чем женщины, не подверженные этому заболеванию. В азартных играх, таких как пари, которые побудили шевалье де Мере задуматься над проблемой очков или проблемой Монти Холла, все либо известно, либо неизвестно, детерминировано или случайно. Но в большинстве реальных миров такой дихотомии не существует. Мы знаем что-то, но никогда не знаем достаточно. Такова природа радикальной неопределенности.
В своем анализе случайного скрининга на рак Гигеренцер не совершил ошибку, предположив, что вероятность, полученная в результате мысленного эксперимента, является вероятностью, которую можно применить к реальному миру. Он не утверждал, что вычислил вероятность того, что любой реальный человек заболел раком груди. Но, как мы видели в Главе 1, г-н Виниар допустил эту ошибку, когда утверждал, что наблюдал событие со стандартным отклонением 25. Он перепутал вероятность, рассчитанную в рамках модели, с вероятностью в мире, на представление которого претендовала модель.
Чтобы сделать заявление о вероятности в реальном мире, необходимо сложить вероятность, вытекающую из самой модели, с вероятностью того, что сама модель истинна. И нет никакого способа узнать, является ли модель истинной; более того, трудно даже придать значение понятию "вероятность того, что представление мира является миром". Эта неспособность отличить "невезение" - маловероятное событие в рамках модели - от неудачи самой модели широко распространена, как мы увидим в последующих главах. Мы будем называть эту проблему сбоя модели проблемой Виниара, в честь бывшего руководителя Goldman Sachs.
Глава 5. Забытый спор
В начале двадцатого века применение теории вероятности было хорошо известно для понимания азартных игр, таких как карты, рулетка или Let's Make a Deal. Теория также доказала свою ценность при анализе данных, полученных в результате более или менее стационарного процесса, такого как смертность, для которого были доступны обширные данные о частоте. Когда государства и частные организации, такие как страховщики, начали записывать информацию в систематической форме, отпала необходимость, как это делал Джон Граунт, рыться в могильных плитах в поисках знаний. А когда процессы, порождающие результаты, были стационарными и хорошо изученными, например, , как подбрасывание честной монеты, частотные распределения можно было вывести из вероятностных рассуждений.
С самых первых дней появления вероятностного мышления предпринимались попытки применить такие рассуждения за пределами области наблюдаемых частот азартных игр и человеческой смертности, использовать вероятностный язык и математику для описания уникальных событий, таких как астероид Юкатан или рейд бин Ладена. И с самых первых дней появления вероятностного мышления такое расширение было сопряжено с сопротивлением. Противники расширения долгое время одерживали верх. В своей "Системе логики", написанной в 1843 году , британский философ Джон Стюарт Милль критиковал французского математика Пьера-Симона Лапласа за применение теории вероятности "к вещам, о которых мы совершенно ничего не знаем". Другой французский математик, Жозеф Бертран, пошел дальше. Он осудил своих соотечественников за абсурдные предположения при применении теории вероятности к проблемам, не относящимся к области азартных игр. Мы верим, что солнце взойдет завтра, сказал он, благодаря "открытию астрономических законов, а не повторному успеху в той же азартной игре". Даже эта вера зависит от того, что астрономические законы остаются неподвижными. Если мы не можем полагаться на стабильность таких законов, тогда невозможно использовать прошлые частоты для вывода вероятностей будущих событий. Бертран помнил о том, что Дэвид Юм написал более чем столетием ранее: "То, что солнце завтра не взойдет, является не менее понятным предложением и не влечет за собой большего противоречия, чем утверждение, что оно взойдет. Поэтому мы тщетно пытаемся доказать его ложность". Возможно, именно в ответ на знаменитую формулировку проблемы индукции нерелигиозным Юмом преподобный Байес взял в руки перо, чтобы описать условные вероятности и предложить делать выводы из данных, даже если глубинные процессы не до конца понятны.
Субъективные вероятности
К концу девятнадцатого и началу двадцатого века развитие математики вероятности такими великими статистиками, как Р. У. Фишер, Ежи Нейман и У. Дж. Госсетт, создало настолько мощный корпус понимания и знаний, что трудно было противостоять давлению, направленному на расширение его применения. Поэтому некоторые пользователи вероятностных рассуждений стремились применить их к уникальным событиям - таким, как результат Кентуккийского дерби, - которые не были результатом какого-либо стационарного процесса. Или использовать вероятности для навигации по широкой неопределенности, такой как риски Goldman Sachs. И это
