Пусть среднее число частиц газа в единице объёма с импульсами, лежащими в интервале d3 p , есть , так что np — число частиц в одной ячейке фазового пространства (g = 2J + 1, где J — спин частицы). Тогда из распределения Гиббса следует, что для идеальных газов фермионов (верхний знак) и бозонов (нижний знак):
. (19)
В этой формуле e = p2 /2M — энергия частицы с импульсом р , m — химический потенциал, определяемый из условия постоянства числа частиц (N ) в системе:
.
Формула (19) переходит в формулу распределения Больцмана (12) при ; левая сторона этого неравенства делается порядка правой при таких температурах, при которых длина волны де Бройля частиц, движущихся с тепловой скоростью, становится порядка среднего расстояния между ними. Т. о., вырождение сказывается при температурах тем более низких, чем меньше плотность числа частиц в газе (и чем больше масса частицы М ).
В случае фермионов, как и должно быть, np £ 1. Это приводит к тому, что частицы газа фермионов (ферми-газа) и при Т = 0 обладают отличными от нуля импульсами, поскольку в состоянии с нулевым импульсом может находиться только одна частица. Точнее, при Т = 0 для ферми-газа np = 1 внутри Ферми поверхности — сферы в импульсном пространстве с радиусом , а вне этой «ферми-сферы» np = 0. При конечных, но низких температурах np меняется от 1 внутри сферы до нуля вне сферы постепенно, причём ширина переходной области порядка MkT/pF . Величина np для ферми-газа как функция от энергии e изображена схематически на рис. 2 (e0 = pF 2 /2M ). При изменении температуры газа меняется состояние частиц только в этом переходном слое, и теплоёмкость ферми-газа при низких температурах пропорциональна Т и равна:
. (20)
В бозе-газе при Т = 0 все частицы находятся в состоянии с нулевым импульсом. При достаточно низких температурах в состоянии с р = 0 находится конечная доля всех частиц; эти частицы образуют т. н. бозе-эйнштейновский конденсат. Остальные частицы находятся в состояниях с р ¹ 0, причём их число определяется формулой (19) с m = 0. При температуре в бозе-газе происходит фазовый переход (см. ниже). Доля частиц с нулевым импульсом обращается в нуль Бозе — Эйнштейна конденсация исчезает. Кривая зависимости теплоёмкости от температуры имеет в точке Tc излом. Распределение частиц по импульсам при Т > Тс даётся формулой (19) причём m < 0. Схематически функции распределения Максвелла, Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна (при Т > Тс ) изображены на рис 3.
Особым случаем применения статистики Бозе — Эйнштейна является равновесное электромагнитное излучение, которое можно рассматривать как газ, состоящий из фотонов. Энергия фотона связана с его импульсом соотношением , где с — скорость света в вакууме. Число фотонов не является заданной величиной, а само определяется из условия термодинамического равновесия, поэтому их распределение по импульсам даётся формулой (19) с m = 0 (причём e= рс ). Распределение энергии в спектре излучения получается умножением числа фотонов на энергию e, так что плотность энергии в интервале частот d w равна , причем np берётся при . Т. о. получается формула Планка для спектра равновесного (чёрного) излучения (см. Планка закон излучения ).
Кристаллическая решётка. Применение С. ф. к вычислению термодинамических функций кристаллической решётки основано на том, что атомы в решётке совершают малые колебания около своих положений равновесия. Это позволяет рассматривать решётку как совокупность связанных гармонических осцилляторов . В такой системе могут распространяться волны, характеризующиеся своим законом дисперсии, т. е. зависимостью частоты w от волнового вектора k . В квантовой механике эти волны можно рассматривать как совокупность т. н. элементарных возбуждений, или квазичастиц — фононов , обладающих энергией и квазиимпульсом ћk . Основное отличие квазиимпульса от импульса состоит в том, что энергия фонона является периодической функцией квазиимпульса с периодом, по порядку величины равным , где а — постоянная решётки. Функция распределения фононов по квазиимпульсам даётся формулой распределения Бозе—Эйнштейна (19) с m = 0. При этом . Т. о., знание зависимости w(k ) позволяет вычислить теплоёмкость решётки. Эту зависимость можно определить из опытов по неупругому рассеянию нейтронов в кристалле (см. Нейтронография ) или вычислить теоретически, задавая значения «силовых констант», определяющих взаимодействие атомов в решётке. При низких температурах существенны только фононы с малой частотой, соответствующие квантам обычных звуковых волн, для которых связь w с k линейна. Это приводит к тому, что теплоёмкость кристаллической решётки пропорциональна T3 . При высоких температурах можно пользоваться законом равного распределения энергии по степеням свободы, так что теплоёмкость не зависит от температуры и равна 3Nk , где N — число атомов в кристалле.
Металлы . В металлах вклад в термодинамические функции дают также электроны проводимости. Состояние электрона в металле характеризуется квазиимпульсом, и, т.к. электроны подчиняются статистике Ферми — Дирака, их распределение по квазиимпульсам даётся формулой (19). Поэтому теплоёмкость электронного газа, а следовательно, и всего металла при достаточно низких температурах пропорциональна Т . Отличие от ферми-газа свободных частиц состоит в том, что поверхность Ферми, около которой сосредоточены «активные» электроны, уже не является сферой, а представляет собой некоторую сложную поверхность в пространстве квазиимпульсов. Форму поверхности Ферми, равно как и зависимость энергии от квазиимпульса вблизи этой поверхности, можно определять экспериментально, главным образом исследуя магнитные свойства металлов, а также рассчитывать теоретически, используя т. н. модель квазипотенциала. В сверхпроводниках (см. Сверхпроводимость ) возбужденные состояния электрона отделены от ферми-поверхности щелью конечной ширины, что приводит к экспоненциальной зависимости электронной теплоёмкости от температуры. В ферромагнитных и антиферромагнитных веществах вклад в термодинамические функции дают также колебания магнитных моментов — спиновые волны .
В диэлектриках и полупроводниках при Т = 0 свободные электроны отсутствуют. При конечных температурах в них появляются заряженные квазичастицы — электроны с отрицательным зарядом и (в равном числе) «дырки» с положительным зарядом, Электрон и дырка могут образовать связанное состояние — квазичастицу, называемую экситоном . Др. тип экситона представляет собой возбуждённое состояние атома диэлектрика, перемещающееся в кристаллической решётке.
Методы квантовой теории поля в С. ф. При решении задач квантовой С. ф., прежде всего при исследовании свойств квантовых жидкостей , электронов в металлах и магнетиков, важное значение имеют методы квантовой теории поля, введённые в С. ф. сравнительно недавно. Основную роль в этих методах играет функция Грина G макроскопической системы, аналогичная функции Грина в квантовой теории поля. Она зависит от энергии e и импульса р , закон дисперсии квазичастиц e(р ) определяется из уравнения:
, (21)
т. е. энергия квазичастицы определяется полюсом функции Грина. Существует регулярный метод вычисления функций Грина в виде ряда по степеням энергии взаимодействия между частицами. Каждый член этого ряда содержит многократные интегралы по энергиям и импульсам от функций Грина невзаимодействующих частиц и может быть изображен графически в виде диаграмм, аналогичных Фейнмана диаграммам в квантовой электродинамике. Каждая из этих диаграмм имеет определённый физический смысл, что позволяет отделить в бесконечном ряду члены, ответственные за интересующее явление, и просуммировать их. Существует также диаграммная техника для вычисления температурных функций Грина, позволяющих вычислять термодинамические величины непосредственно, без введения квазичастиц. Упомянутые в разделе о жидкости методы, использующие многочастичные функции распределения квазичастиц, во многих отношениях близки к методам квантовой теории поля. Использование этих функций всегда основано на приближённом «расцеплении» — выражении функции более высокого порядка через функции более низкого.
