- Однако же, - продолжал Ибрагимов, обращаясь ко всему классу, - данный способ далеко не везде применим, например в землемерии, в домостроении. Потому и требуются иные способы судить о равенстве треугольников без наложения. Обратимся к доказательству Панкратова.
Истомившийся ожиданием, Панкратов живо повернулся к доске.
- Опишем из точек А и С треугольника ABC радиусами АВ и СВ дуги... начал он и, ни разу не споткнувшись, благополучно закончил доказательство.
- Хорошо, - похвалил и его Ибрагимов. - Но это мы знаем из учебников. А не придумаете ли сами, как еще можно доказать? Может, кто из класса возьмется?
Гимназисты переглянулись.
- Но разве существует еще третье доказательство? - спросил чей-то удивленный голос.
- Есть, - кивнул Ибрагимов. - Например, у того же Румовского. И даже более простое, изящное. А можно, если хорошо подумать, обнаружить и свое доказательство. Учение по учебнику - это проторенная дорога, на ней преодолевать неожиданные преграды не требуется. Однако намного достойнее научиться быть первооткрывателем. Хотя бы сначала в столь малом, как открытие нового доказательства для известной теоремы.
Коля, слушавший внимательно, уже несколько раз порывался поднять руку. Ибрагимов заметил это.
- Лобачевский, вы что-то хотите сказать?
Перебирая на столе свои разноцветные треугольники,
Коля поднялся.
- Господин учитель, вы только что говорили о поисках новых, самостоятельных доказательств. Но я не понимаю в этом смысла: ведь, кажется, достоверность нашей теоремы видна с первого взгляда, без доказательства.
Ибрагимов прошелся по классу, выжидая: не поднимутся ли еще руки. Нет, все молчали.
- Вас, молодой человек, - усмехнулся он, - голыми руками не возьмешь... Действительно, так: наглядность чертежа или модели геометрических фигур позволяет обнаружить некоторые их свойства. На таком непосредственном созерцании была основана геометрия древних египтян. Они пользовались ею для узкопрактических целей.
Сейчас на примере треугольников вы нам тоже остроумно представили подобный образец наглядности... Да вы садитесь!.. Но для установления более сложных геометрических свойств материальных тел природы такой способ уже не годится. Сомневаетесь?.. Тогда сейчас убедитесь в этом сами...
Урок превращался в интересную беседу. Лица мальчиков порозовели.
- Мы будем рассматривать сегодня, - продолжал Ибрагимов, - теорему о равенстве суммы внутренних углов треугольника двум прямым. Ее доказательство...
Коля, не дослушав, поднял руку.
- Ну что ж, говорите, Лобачевский.
- Господин учитель, ведь и здесь доказательство можно заменить одним словом "Смотрите!", - возразил Коля, Ученики замерли: неужели переспорит учителя?
Но Ибрагимов сказал спокойно:
- Вот, еще вам один Бехаскера Чарж нашелся. Ну, ну, выходите сюда. Убедите нас.
Коля направился к доске.
- Дай-ка, - на ходу попросил у гимназиста, сидевшего за первым столом, большой треугольник из толстой бумаги. Затем, оторвав с боков два уголка и приложив их слева и справа к верхнему так, что получился один развернутый угол, поднял их над головой. - Смотрите!
- Выше! - сказал Ибрагимов. - Поднимите выше.
Пусть видят все... Вам, понятно? - спросил он учеников, И те, перебивая друг друга, закричали:
- Ясно! Понятно!
- Развернутый угол равен двум прямым.
- Доказал!
Ибрагимов помахал им рукой.
- Тише, тише, господа. Вы на уроке. Садитесь, Лобачевский. Очень хорошо. Значит, по-вашему, доказывать излишний труд? Все тут ясно нам и очевидно? - спросил он Колю.
- Д-да... - произнес тот с некоторой запинкой.
Лукавый огонек, вспыхнувший в глазах учителя, вдруг дал почувствовать Коле, что его доказательство не совсем достоверно.
- Так вот, господа, - продолжал Ибрагимов, - древние индийские математики поступали точно так же. Пренебрегая теоретическими обоснованиями, они делали чрезвычайно выразительные чертежи, а вверху над ними писали слово, только что произнесенное Лобачевским: "Смотри!"
Так .цоступал индусский математик двенадцатого века Бехаскера Чарж. В своей книге "Лилавати" ["Лилавати" - прекрасная (инд.)] он доказывал теорему Пифагора двумя чертежами, считая, что иного доказательства ей не требуется.
Ибрагимов помолчал, прошелся по классу, как бы желая дать ученикам время подумать над сказанным.
- Чтобы оценить по достоинству значение доказательств, - обратился он с вопросом, - не задумывались ли вы, в чем их суть? А стоило бы... Как же можно всем нам отрицать роль этих доказательств или роль умозаключений, если не знать, что это такое? Благоразумно ли, например, отказаться от какой-то, может быть, и вкусной, и здоровой пищи по той причине, что вы ее никогда не пробовали?..
В четвертом веке до рождества Христова, - продолжал Ибрагимов, Аристотель высказал утверждение, по тому времени очень смелое. Он сказал первое: что Земля, при всех положениях, во время лунных затмений отбрасывает на Луну круглую тень. Второе: что, несомненно, такую тень отбрасывает при всех положениях только шар. Следовательно, Земля - шар. Из двух достоверных суждений Аристотель, таким образом, вывел умозаключение об истинности своего утверждения или, другими словами, доказал шаровидность Земли. Вот что значит логическое доказательство.
Объяснения учителя покоряли стройностью суждений.
В них не было ничего лишнего. Все продумано, логично.
Да и сами по себе доказательства стали более интересными.
- Теперь мы вернемся к индусам и примеру Лобачевского, - продолжал Ибрагимов. - Он пытался убедить нас одним словом: "Смотрите!" Но можно ли сказать, что в данном случае не было доказательства? Конечно же нет.
Просто, не рассуждая, глядя на показанную им фигуру из трех уголков треугольника, мы ни к какому выводу не пришли бы. На самом же деле вспомнили, что развернутый угол равен двум прямым. Это было наше первое суждение. Затем признали, что эта фигура из трех уголков представляет собой развернутый угол. Это было второе суждение. Отсюда вывели заключение, что раз так, то сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым. Как видите, простого созерцания было недостаточно. Мы смотрели, рассуждали. Кстати... - Учитель прошелся по классу и вскоре остановился у скамейки Лобачевского. - Кстати, господа, - повторил он с лукавой улыбкой, - обращаю внимание ваше на тот факт, что "немое" доказательство Лобачевского, такое внешне эффектное, на самом деле не совсем достоверно и бесспорно.
Ученики зашушукались, но Ибрагимов будто и не заметил этого.
- Посудите сами: почему же мы уверены, что после такого сложения уголков треугольника две их крайние стороны составят непременно продолжение одна другой, образуя развернутый угол? - спросил он у всех.
- Так это же видно!
- Бесспорно!
- Ясно! - с увлечением закричали с разных сторон.
- А вы забыли, что каждое геометрическое утверждение, если это не аксиома, должно быть непременно доказано, хотя б и казалось оно всем очевидным? - спросил Ибрагимов. - "Очевидно" - понятие обманчивое. Одному очевидно, другому нет. Помните, как долго люди считали очевидным, что Солнце движется вокруг Земли. Все ведь своими глазами видели. Вот вам и "очевидно". Значит, и для суммы углов треугольника тоже требуется до-ка-затель-ство, - договорил он последнее слово раздельно, по слогам.
- Надо смерить углы транспортиром, - сказал ему Лобачевский. - Вот и все убедимся.
- Превосходно, - кивнул Ибрагимов. - Каждый, у кого начерчен треугольник, измерьте углы, затем, сложив их, скажите результат... Лобачевский, пожалуйте к доске. Будем записывать.
Гимназисты завозились. Ибрагимов, устав от ходьбы, уселся на свой стул и внимательно стал следить, с каким увлечением все кинулись выполнять задание.
Через несколько минут раздались удивленные голоса:
- У меня 181°!
- У меня 179°! Это почему?
- А вот у меня 180°30'!
Коля терпеливо стучал мелом: колонки цифр удлинялись, вот уже чуть ли не вся доска ими занята.
Ибрагимов повернулся к нему:
- Ну, Лобачевский, готов результат?
- Нет еще. - Коля лихорадочно подсчитывал. - Сейчас кончу. Как же так? Что-то между 178° и 181°, - удивился он.
- То-то же, - улыбнулся учитель. - Значит, глаза у всех разные?
Коля молчал.
- Убедились? - добродушно спросил Ибрагимов. - И не смущайтесь. Это вас не глаза подвели, а карандаши, линейки, транспортиры - словом, ошибки построения. Эти ошибки неизбежны, если бы даже измерили вы десятки треугольников. Важно и другое. Нам надо знать не только то, что сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым, но также и то, почему она должна быть именно такой. Измерительное, опытное доказательство нам этого не объясняет. Ясно? Это лишь грубое и приблизительное обоснование теоремы.
- Ошибка невелика, - заметил Коля и, не ожидая разрешения учителя, вернулся на свое место.
