Панкратов глубоко вздохнул и, подняв рукава своей куртки, будто перед жаркой схваткой, начертил на доске треугольник.
- Ишь какую теорему выбрал, - проворчал он добродушно. - Тут попотеешь. Придется вспомнить, что и месяц тому назад учили.
- Господин Панкратов, без лишних разговоров, - заметил Коля, подражая голосу Яковкина.
Таврило фыркнул, но тут же спохватился и глянул на свой чертеж.
- Пусть будет он треугольником ABC. И пусть одна его сторона ВС будет продолжена до буквы Д. Мы утверждаем, что внешний угол АСД больше каждого из внутренних углов ВАС и СВА. Разделим сторону АС пополам в точке Е.
- Постой, постой! Не торопись... А что ж это: внешний и внутренний углы треугольника?
- Неужели не знаешь? - удивился Панкратов.
- Уговор дороже денег, - напомнил Коля.
- Ну что ж... Угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника, - начал объяснять Таврило, - называется внешним углом этого треугольника. Таков, например, угол АСД. Но, в отличие от внешних, углы самого треугольника называются внутренними. Все!
- Нет, - сказал Коля, - не все... Я пока не знаю, что ж это: "смежный угол"...
- А-а... - протянул Панкратов. - Сейчас вот узнаешь... Два угла называют смежными, если одна сторона у них общая, а две остальные составляют продолжение одна другой... Так?
- Верно... Продолжай дальше.
- А что продолжать?
- Но ты не объяснил еще главного: что же такое угол? Потом, неизвестно мне, что следует понимать под словом "сторона"...
- Фу-у! - рассердился Панкратов. - Ты меня совсем изводишь.
- Ничего, не лопнешь.
- Ладно, Математик, не шути... Сейчас я тебе разберу по всем пунктам. Начнем с угла. Итак, фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, называется углом. А сторонами... Ты что улыбаешься? Думаешь, пропустил? Нет, шалишь, брат! Я потом... Так вот, полупрямые, образующие угол, называются его сторонами. Теперь-то можно дать определение луча. Прямая, ограниченная только с одной стороны, называется лучом или полупрямой, - закончил Таврило и торжествующе посмотрел на Колю. - Понял мою хитрость?
- Молодец, одним выстрелом убил двух зайчат, но вот сама зайчиха-то убежала!
- Зайчиха?.. - озадаченно переспросил Панкратов. - - Какая?
- А вот какая... Про угол ты говорил и использовал самое первоначальное евклидово понятие - точку. Почему не дал ее определения?
- "Почему, почему"!.. - проворчал Таврило с раздражением. - Прикажешь определять ее, точку эту, как нечто, не имеющее частей, или прямую линию как нечто прямое...
- Точка... Линия... Эх! - воскликнул Коля, махнув рукой. - Помню, об этом слышал еще в прошлом году на первом уроке у Корташевского. Как же я сам не смекнул?
Ведь правда, все наши предыдущие понятия в конце концов свелись к двум - точке и прямой линии. А если и другие геометрические понятия также основываются на них, то ясно, почему они...
- Что же ты! - прервал его Панкратов. - Не может быть! Ну... допустим, возьмем понятие о параллельных прямых. Это суть, как говорил Николай Мисаилович, две прямые, лежащие на одной плоскости и не имеющие общей точки. Но кроме прямой и точки оказалось еще одно понятие - плоскость. А можно ли определить ее с помощью точки и линии?..
- Н-да... - замялся Лобачевский, но тут же сообразил: - Так ведь плоскость есть такое же первоначальное, независимое от других понятие, как точка или прямая линия.
- Так и есть! - произнес Таврило. - Вот он и третий заколдованный круг: плоская поверхность есть нечто шки ское. А может быть, еще найдется много подобных первоначал?.. Проверим?
- Ну что ж, давай! - кивнул Коля и вдруг насмешливо запел тонким голосом:
Жил-был царь,
У царя был двор,
На дворе был кол,
На колу мочало...
Начинай сначала.
Чтобы ничего не пропустить нам, иди ты по "Началам", а я - по Осиповскому. С первых страниц разберем все геометрические понятия. Только с уговором: друг другу не мешать.
- Дальше в лес - больше дров, - вздохнул Панкратов. - Ладно уж...
Пристроившись к подоконнику, где посветлее, мальчики усердно зашелестели страницами.
Каждый читал по-своему: Лобачевский, с бумажкой и карандашом в руках, делая выписки, снова и снова возвращался к первым определениям и теоремам. У Панкратова была замечательная память, он удивлял способностью производить в уме довольно трудные математические вычисления и мог читать все подряд, не останавливаясь и лишь изредка перечитывая особо нужные места.
Вечерело. Последние отблески зари трепетали на стеклах окон. Сумерки сгущались быстро, и классная комната незаметно погружалась в темноту.
Панкратов, прервав чтение, поднялся.
- Может, хватит? - спросил он Колю. - Совсем темно стало, не то глаза испортим... А ты, пожалуй, прав.
Я добрался уже до параллелограмма, и, знаешь, ровнехонько все понятия, непосредственно или через другие, определяются только с помощью точки, прямой линии и плоскости... Да-да, их всего-навсего три. Значит, они действительно являются основными. - Таврило вдруг отступил на шаг и церемонно раскл-анялся: - Прошу прощения, госпожа Точка, госпожи Прямая и Плоскость, это я по своей тупости счел вас ненужными. Оказалось, ни одно геометрическое построение и рассуждение без вас не обходятся. Аи да дамы!
- Чему радуешься, простофиля? - упрекнул его Коля, швырнув книгу на подоконник. - Это ужасно! Какая же наука может быть ясной, когда в основе всех ее понятий лежат столь темные определения? Подумай только:
"Точка есть нечто, не имеющее частей". Не должно быть подобной темноты в геометрии! Мы, наверное, тут чего-то недопонимаем...
- У меня уже голова разламывается, - вздохнул Таврило. - Пойдем-ка на волю, проветрим головы - может, легче станет.
Однако ни прогулка во дворе, ни ужин в столовой не прояснили сомнений. Приятели снова заперлись в геометричке. Обсуждение - что же такое точка, линия и плоскость - объявили запрещенным.
- Временно, - добавил Коля. - Иначе нового доказательства теоремы найти нам не удастся.
Теперь каждый самостоятельно искал это новое доказательство. Но, увы, безуспешно. Всякий раз оказывалось, что удалось найти лишь обозначения и фигуры чуть-чуть не такие, как в учебнике. Все же остальное шло до учебнику. Чертили, стирали, спорили, пока все масло в коптилке не выгорело. Но доказательства нового, своего, так и не получилось
- Идем спать, может, во сне увидим, - сказал Панкратов.
Коля только махнул рукой.
На следующий день лучшие гимназисты собрались в геометрическом классе один мрачнее другого. Удивительный подъем, вызванный прошлым уроком, плодов не принес: никто не смог найти нового доказательства этой мучительницы - теоремы. Воспитанники с тяжелым унынием ждали своего учителя, беспокойно поглядывая на дверь. Но случилось неожиданное: Ибрагимов, появившись на пороге, предложил:
- Господа! Не хотите ли на волю - погреться на солнышке? Наше занятие сегодня проведем за Казанкой, в чистом поле. Там и познакомимся как следует с предком нашей геометрии - землемерием. Согласны?.. Одеться и приготовиться - даю вам на сборы пять минут!
Гимназистов будто подменили. Появились улыбки на их унылых лицах. Все вдруг засуетились и, толкая друг друга, направились к выходу.
Внизу по распоряжению Ибрагимова уже были приготовлены вехи, землемерная цепь, эккер и все необходимое для работы в поле. Мальчики живо разобрали все инструменты. Коля схватил землемерную цепь.
Сентябрьский день выдался на редкость теплый и почти безоблачный. На улице было многолюдно, весело. Ибрагимов шел с мальчиками, не требуя от них положенного строя. Поэтому все были такими радостными. Но уж самое чудесное, пожалуй, началось около Казанки.
Остановившись на берегу, Ибрагимов объявил:
- Здесь, господа, у нас будет переправа. Но предварительно предлагаю измерить ширину реки.
Двое учеников, схватив мерные шнуры, кинулись к лодке, лежавшей на берегу.
- Стойте, стойте! - закричал учитель. - Шнуры короткие, на ширину реки не хватит их. А главное - представьте себе, что нет у нас ни лодки, ни шнура. Тогда как быть?
Мальчики растерянно переглянулись.
- Тогда, может, на глаз определить? - нерешительно сказал Коля. - Тут, наверное, сажен двадцать, не больше.
- Глазомер у вас неплохой, - одобрил учитель. - Свойство для землемера весьма полезное. Сейчас проверим, насколько близки вы к истине. Для этого нужно... Панкратов, скажите нам: первый признак равенства треугольников.
- Если две стороны, - бойко начал Таврило, - и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны между собой.
- Прекрасно! - кивнул Ибрагимов. - Так вот, господа, измерим ширину реки по этой самой теореме, - Он посмотрел на Панкратова. - С помощью, например, козырька фуражки. Она ведь не то, что мерная цепь - всегда у человека на голове окажется.
Мальчики снова переглянулись.
