Целый ряд задач теории упругости — по устойчивости стержней и пластин, вибрациям стержней и дисков и пр. — решил в 1911—1913 гг. А.Н. Дынник (1876— 1950). Дынник окончил Киевский политехнический институт в 1899 г. и с 1911 г. состоял профессором Горно-металлургического института в Днепропетровске. Он продолжал успешные изыскания по теории упругости и в советский период.
К 1914 г. относится начало работ по теории упругости Л.С. Лейбензона (1879—1951) — прежде всего по устойчивости упругого равновесия длинных сжатых стержней с первоначальным кручением около прямолинейной оси стержня, а затем по устойчивости сферической и цилиндрической оболочек. Практическое значение первой задачи ясно из того, что всем известные теперь сетчатые башни системы В.Г. Шухова составлены из закрученных прямолинейных образующих.
Исследованиями в области теории упругости занимался в начале XX в. и С.А. Чаплыгин. К 1900 г. относятся его рукописи «Деформация в двух измерениях» и «Давление жесткого штампа на упругое основание», которые впервые были напечатаны лишь в 1950 г. В этих статьях Чаплыгин разработал метод решения плоской задачи теории упругости, основанный на применении теории функций комплексного переменного, и использовал его при решении задачи об эллиптическом отверстии в бесконечной плоскости и задачи о вдавливании прямоугольного штампа в упругую полуплоскость.
Аналогичный метод решения плоской задачи теории упругости был разработан Г.В. Колосовым (1867—1936). В 1909 г. Колосов опубликовал весьма важную работу «Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости», где им были установлены формулы, выражающие компоненты тензора напряжений и вектора смещения через две функции комплексного переменного, аналитические в области, занимаемой упругой средой. В 1916 г. метод Колосова был применен к тепловым напряжениям в плоской задаче теории упругости Н.И. Мусхелишвили. Деятельность Мусхелишвили, как и некоторых других названных здесь ученых, развернулась во всей широте уже после Октябрьской революции.
ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ
Вкратце остановимся на проблеме фигур равновесия вращающейся жидкости, в разработку которой основной вклад внес А.М. Ляпунов.
Ньютон показал, что под влиянием центробежных сил и взаимного притяжения своих частиц однородная жидкость при малой угловой скорости принимает форму сжатого эллипсоида вращения. Вопрос о форме, принимаемой равномерно вращающейся вокруг неподвижной оси жидкой массой, все частицы которой взаимно притягиваются по закону Ньютона, приобрел весьма важное значение при исследовании проблем космогонии.
В XVIII—XIX вв. при решении этой проблемы исходили из гипотезы о том, что на некоторой стадии развития небесные тела были жидкими. А. Клеро показал, что если скорость вращения жидкой массы очень мала, то за поверхности уровня с достаточной степенью точности могут быть приняты поверхности эллипсоидов вращения. Но этот результат справедлив лишь в первом приближении, а теория Клеро не позволяла найти более высокие приближения. Затем А. Лежандр и П. Лаплас предложили методы, которые позволяли находить последовательные приближения.
В 1829 г. Пуассон отметил, что результаты Лежандра и Лапласа также оставляют желать много лучшего, поскольку не был исследован вопрос, будут ли сходящимися ряды, к которым приводят их методы. Создавшаяся ситуация и побудила Ляпунова продолжить исследования. Ляпунов в отличие от Лежандра, Лапласа и Пуассона не пользовался разложением в ряд, а рассмотрел уравнения задачи (из которых первое является уравнением Клеро) при весьма общих предположениях о законе распределения плотности вращающейся жидкой массы.
Ляпунов поставил вопрос в общей форме и, основываясь на положении Лагранжа о минимуме потенциала, дал строгое решение задачи.
В магистерской диссертации «Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости» (1884) Ляпунов впервые дал точное определение понятия устойчивости вращающейся жидкости. Он доказал, что признак устойчивости системы, обладающей конечным числом степеней свободы, не может быть перенесен на случай движения жидкости, имеющей бесконечное число степеней свободы. Далее Ляпунов установил достаточный критерий устойчивости фигур равновесия и показал, что эллипсоид вращения является устойчивой фигурой равновесия, если его эксцентриситет не превышает некоторой, определенной Ляпуновым величины.
В 1901 г. Ляпунов, преодолев огромные математические трудности и разработав ряд новых аналитических методов, выполнил строгое исследование вопроса о существовании новых фигур равновесия жидкости, равномерно вращающейся вокруг некоторой оси, если частицы жидкости взаимно притягиваются по закону Ньютона.
«Даже с внешней стороны серия мемуаров и отдельно изданных книг [Ляпунова] по вопросу о фигурах равновесия вращающейся жидкости поражает своей грандиозностью», — отмечал Стеклов{225}.
Основной результат исследования Ляпунова таков: при наложении определенных требований на плотность жидкости для всех значений угловой скорости вращения, не превосходящих некоторого определенного предела, существует фигура равновесия вращающейся массы неоднородной жидкости, находящейся в поле своего собственного тяготения.
Работы Ляпунова по фигурам равновесия вращающейся жидкости вызвали длительную дискуссию Ляпунова с английским ученым Дж. Дарвином (1845—1912).
Дж. Дарвин исследовал вопрос об устойчивости форм равновесия вращающейся жидкости, которым А. Пуанкаре (1854—1912) дал название грушевидных (для случая вязкой жидкости). По формулам Пуанкаре, которыми пользовался английский ученый, устойчивость или неустойчивость зависит от знака некоторой величины А.
Пользуясь методом приближенных вычислений, Дарвин после весьма сложных расчетов нашел А < 0, откуда следовало, что эти формы устойчивы. На этом Дж. Дарвин построил свою космогоническую гипотезу развития двойных звезд.
Однако грушевидные фигуры равновесия получаются как частный случай из бесчисленного множества других фигур равновесия, строго выведенных Ляпуновым, причем для А получается точное выражение в виде алгебраической функции двух аргументов. Это позволило Ляпунову в результате довольно сложных вычислений, проверенных несколькими способами, показать, что А > 0, т. е. грушевидные формы неустойчивы. Иными словами, воспользовавшись без достаточной математической осторожности приближенными формулами, Дж. Дарвин получил ошибочный результат.
Об этом разногласии Ляпунов писал в работе «Об одной задаче Чебышева» (1905) и в серии мемуаров «О фигурах равновесия вращающейся и однородной жидкой массы, мало отличных от эллипсоидов», печатавшейся в «Записках Академии наук» в 1906—1914 гг. В третьей части этой работы, вышедшей в 1912 г., он подробно изложил выводы своих точных формул и все вычисления.
Пуанкаре утверждал в 1911 г., что «грушевидная форма, может быть, устойчива, но нет уверенности, что это действительно так». Дж. Дарвин считал эту фигуру устойчивой; Ляпунов же пришел к противоположному результату. Чтобы окончательно доказать правильность своей точки зрения, Ляпунов опубликовал ряд фундаментальных работ, в которых дал безукоризненное математическое доказательство своего утверждения. Таким образом, возникшая между А.М. Ляпуновым и Дж. Дарвином полемика закончилась полной победой русского ученого. Впрочем, на Западе отдельные ученые продолжали сомневаться, на чьей стороне истина. Только в 1917 г., после опубликования работы Дж. Джинса (1877—1946), зарубежные ученые окончательно признали полную правоту Ляпунова. Джине обнаружил ошибку в вычислениях Дж. Дарвина, приведшую к неверному выводу об устойчивости грушевидных фигур.
Труды Ляпунова по фигурам равновесия вращающейся жидкости до сих пор остаются непревзойденными. Все работы отечественных и зарубежных ученых, выполненные после смерти Ляпунова, в той или иной степени основаны на его идеях и методах.
ГИДРОДИНАМИКА И ГИДРАВЛИКА
Важнейшим результатом развития механико-математической мысли в России в конце XIX и в начале XX в. было появление классических работ по гидродинамике и гидравлике, принадлежащих Н.Е. Жуковскому.
Николай Егорович Жуковский (1847—1921), сын инженера, окончил физико-математический факультет Московского университета в 1868 г. С 1872 г. он преподавал в Московском техническом училище сначала математику, а затем — с 1874 по 1919 г. — механику. В 1886 г. Жуковский возглавил кафедру механики в Московском университете и в течение многих лет руководил Московским математическим обществам, с 1903 г. как его вице-президент и с 1905 г. — как президент.
